Particularităţi ale aptitudinilor
matematice la şcolari
Institutul de Istorie „George Bariţ” Cluj-Napoca
Primele încercări de abordare a problemei aptitudinilor matematice se leagă de numele unor cunoscuţi psihologi şi matematicieni, care au trăit şi şi-au făcut cunoscute ideile în prima jumătate a secolului trecut: A. Binet, E.L. Thorndike, A. Ruthe, A.L. Rogers, A.F. Lazurski, respectiv, H. Poincaré, D.M. Boltovski, J. Hadamard s.a. Date interesante au fost obţinute în cadrul cercetărilor bazate pe analiza factorială a rezultatelor la testele de inteligenţă şi la cele cu conţinut matematic: C. Spearman, L.L. Thurstone, J.P. Guilford, M. Bejat şi A. Perju etc. În spiritul teoriei promovate de S.R. Rubinstein[1] cu privire la natura proceselor cognitive, reţin atenţia – prin originalitatea ipotezelor de lucru adoptate şi prin metodele de verificare utilizate cercetările efectuate de autori ca: R. Gullasch, G. Pippig, N.A. Mencinskaia şi M.I. Moro. Teoria formării operaţiilor mintale ca rezultat al interiorizării acţiunilor externe[2] a constituit fundamentul unor ample şi rodnice cercetări privitoare la structura şi dinamica aptitudinilor matematice la şcolari: K. Lowell, V.V. Davâdov, Z.P. Dienes, B. Zörgö ş.a.[3].
Abordând problema structurilor psihice dintr-o perspectivă fondată pe principii şi metode proprii teoriei sistemelor şi ciberneticii, V.A. Kruteţkii reliefează câţiva factori cu rol esenţial în configurarea aptitudinilor matematice la şcolari. Primul dintre aceştia a fost denumit capacitate de percepere formalizată („formalizovannoe vospriiatie”) a materialului matematic, o însuşire complexă care se manifestă prin: recunoaşterea imediată a datelor şi condiţiilor problemei, înţelegerea relativ rapidă a structurii formale a acesteia, conştientizarea relaţiilor esenţiale dintre indicatori şi nerecurgerea la date puţin semnificative sau de prisos. Urmează, apoi, o serie de factori implicaţi în activitatea de procesare a informaţiilor matematice: capacitatea de generalizare imediată şi de amploare a datelor, flexibilitatea proceselor gândirii, străduinţa spre claritate şi economicitate şi, în fine, reversibilitatea proceselor gândirii. Ultimul factor evidenţiat se referă la păstrarea informaţiei matematice şi constă în: reţinerea esenţialului (scheme de acţiune, structuri de bază, principii generale de rezolvare) şi „uitarea” datelor concrete, a informaţiei de prisos din problema dată[4].
Formându-se şi dezvoltându-se în activitatea de învăţare a matematicii, aptitudinea la care ne referim acum are darul de a facilita însuşirea unui anumit volum de cunoştinţe, priceperi şi deprinderi specifice şi, totodată, de a orienta într-o anumită direcţie curiozitatea epistemică firească a copilului, de a-l face să îndrăgească lumea aparent rece şi abstractă a obiectelor şi relaţiilor cantitative şi spaţiale. Ajunsă la un nivel superior de dezvoltare, aptitudinea matematică conferă o înaltă eficacitate întregii activităţi de învăţare şi utilizare a matematicii. Sarcina asumată în cadrul cercetării noastre a fost de a reliefa factorii care structurează aptitudinea matematică la şcolari, adică de a evidenţia şi explica acele însuşiri psihice ale elevilor care, în condiţii egale de efort şi oportunităţi educative, duc la rezultate diferite în activităţile cu conţinut matematic.
Ipoteza de lucru de la care am plecat îşi are originea atât în rezultatele unor cercetări anterioare[5]/[6]/[7] cât şi în datele obţinute cu ocazia unor investigaţii personale[8]. Am ajuns, astfel, la presupunerea că aptitudinea matematică reprezintă o structură relativ unitară şi distinctă, constituită din mai mulţi factori specifici, a căror pondere variază în funcţie de conţinutul sarcinii şi etapele de rezolvare a acesteia.
Pentru verificarea ipotezei de lucru adoptate am recurs la două categorii de probe: normative (teste de aptitudini şi cunoştinţe matematice) şi formative. Fiind o măsură obiectivă şi standardizată, testul reuşeşte să ofere informaţii despre diferenţele individuale
dintre subiecţi, inclusiv despre particularităţile psihice ale acestora în procesul de rezolvare a unor probleme cu conţinut matematic. Pe scurt, probele normative utilizate au fost[9]: 1. Serii de numere, 2. Probleme, 3. Figuri plane, 4. Rotire cuburi, 5. Test de cunoştinţe matematice, 6. Numărare figuri geometrice, 7. Memorare numere, 8. Numărare cuburi, 9. Matricile progresive Raven (seriile A, B, C, D, E), 10. Atenţie concentrată.
Datele obţinute cu ajutorul acestor probe – toate aplicate colectiv – au fost întregite cu încă două variabile: notele medii la matematică şi, respectiv, la fizică. Relaţiile strânse dintre aptitudini şi cunoştinţe justifică o asemenea procedură. În plus, se amplifică baza primară de date pentru realizarea unei cercetări de tip statistic / cantitativ.
Dând curs orientării complementariste, care promovează ideea îmbinării demersului cantitativ cu cel calitativ[10], în cercetarea proprie am coroborat rezultatele analizei cantitative a cotelor la testele de aptitudini matematice cu cele obţinute prin probe calitative, de tip formativ.
La baza probelor de tip formativ se află ideea că un anumit nivel de dezvoltare aptitudinală poate fi explicat ca efect al unui ansamblu controlabil de influenţe instructive iar diferenţele dintre subiecţi pot fi puse pe seama receptivităţii acestora la influenţele menţionate. O probă diagnostică formativă este o problemă a cărei rezolvare nu depinde direct de setul de cunoştinţe, priceperi şi deprinderi stocate în memoria subiectului, ci de experienţa pe care acesta o câştigă în şi prin procesul rezolvării ei[11].
Probele formative la care am recurs în cercetarea proprie au fost:
1. Turnul din Hanoi, probă utilizată pentru cunoaşterea unor caracteristici aptitudinale ca: orientarea în sarcină / problemă, rapiditatea şi trăinicia învăţării prin încercare şi eroare, receptivitatea la ajutor extern, flexibilitatea gândirii, generalizarea unor scheme de rezolvare, interesul şi atracţia pentru problematic, perseverenţa în rezolvarea unor sarcini dificile s.a.
2. Ghici numărul, folosită pentru atingerea unor obiective de genul: reliefarea capacităţii subiectului de a descoperii independent sau cu ajutor extern gradual regularităţii şi relaţii esenţiale într-un ansamblu de numere date, manifestarea flexibilităţii gândirii în procesul de rezolvare a unor probleme, receptivitatea la ajutor extern etc.
3. Balanţa fructelor în depozit, utilizată pentru reliefarea capacităţii de orientare adecvată în sarcini cu conţinut matematic prezentat în forme / expresii algebrice, geometrice şi aritmetice.
4. Numărare figuri geometrice, probă care permite cunoaşterea unor aspecte aptitudinale nu numai pe baza rezultatelor, ci şi a procesualităţii, adică a strategiilor utilizate, a momentelor de „iluminare” şi „rătăcire”, de evitare sau repetare a unor greşeli etc.
Ambele categorii de probe au fost aplicate în două etape diferite, la subiecţi cu vârste cuprinse între 14 şi 17 ani. Prima aplicare a avut loc în perioada 1980-1982, rezultatele obţinute au fost publicate în lucrarea „Aptitudinea matematică la şcolari”[12]. A doua aplicare s-a desfăşurat în perioada 2000-2002 la subiecţi de aceeaşi vârstă cronologică. Analiza datelor obţinute în a doua etapă a cercetării demonstrează faptul că nu au apărut modificări semnificative în privinţa particularităţilor aptitudinale, ceea ce demonstrează stabilitatea în timp a substructurii investigate şi, foarte probabil, fidelitatea instrumentelor de lucru utilizate.
Coroborând datele rezultate din cercetarea proprie cu cele existente în literatura de specialitate consultată, putem susţine cu suficient temei că ipoteza de lucru a fost pe deplin justificată, că de la o anumită vârstă (14-15 ani) se conturează la elevi – cel puţin la unii dintre ei – o structură psihică complexă, care imprimă un anumit specific şi o eficienţă sporită activităţii de învăţare a matematicii şcolare.
Primul „element” sau prima particularitate se referă la modul de orientare a elevilor într-o situaţie problematică dată. Elevii cu aptitudini matematice superior dezvoltate reuşesc să înţeleagă imediat şi corect datele oferite, conştientizează completitudinea, insuficienţa sau excesivitatea acestora, stabilesc cu relativă uşurinţă gradul de rezolvabilitate sau indeterminare al problemei, sesizează momentul şi natura greşelilor comise, realizează transferuri oportune de cunoştinţe şi strategii de rezolvare. Aceştia nu se lasă copleşiţi de specificul şi volumul datelor, fie ele concrete sau abstracte, numerice, literale (algebrice) sau figurale (geometrice); suficiente, lacunare sau de prisos. Ei îşi fixează de la bun început atenţia asupra întrebării sau obiectivului de atins, surprind cu multă exactitate structura de ansamblu a problemei.
Un cu totul alt mod de orientare în problemă se observă la elevii cu aptitudini matematice slab dezvoltate. Aceştia fie că nu reţin toate datele problemei, fie că nu sesizează raporturile logice dintre ele. Rezultatul este, de cele mai multe ori, lipsa de înţelegere a sensului, a ceea ce se cere în finalul activităţii.
Asemenea deosebiri sunt, foarte probabil, determinate de nivelul diferit de dezvoltare al uneia dintre componentele de bază ale aptitudinii matematice, componentă care ar putea fi exprimată prin termeni ca: simţ sau sensibilitatea matematică (prin analogie cu sensibilitatea muzicală, de exemplu), intuiţie matematică, orientare matematică a gândirii, capacitatea matematică sau, pur şi simplu, factorul 0, asemănător cu factorul N, reliefat de L.L. Thurstone[13]. Dacă admitem că orice aptitudine reprezintă o grupare („cluster”) de abilităţi[14], atunci factorul 0 ar putea fi denumit abilitate de orientare adecvată într-o situaţie problematică dată.
Abilitatea de orientare adecvată în situaţii problematice corelează semnificativ (r = .834) cu factorul GM denumit de noi gândire matematică, factor care saturează puternic probele „Probleme” şi „Test de cunoştinţe matematice”[15]. Interesant de semnalat este şi faptul că abilitatea de orientare în problemă devine o variabilă dependentă de caracteristicile sarcinii: este mai ridicată în probele asemănătoare problemelor matematice şcolare (exp. „Balanţa fructelor în depozit”) şi mai scăzută în probele neuzuale („Turnul din Hanoi”, „Ghici numerele” şi „Numărare figuri geometrice”).
Componenta aptitudinală la care ne referim se aseamănă în unele privinţe cu factorul denumit de către V.A. Kruteţkii ca tendinţă / factură matematică a gândirii („matematiceskaia napravlionnost uma”)[16]. Legături are, desigur, şi cu ceea ce B. Zörgö denumeşte „formularizare generalizată a problemei”[17].
O a doua componentă importantă în structura aptitudinilor matematice o reprezintă abilitatea de a sesiza, reţine şi valorifică adecvat acele date şi relaţii care au atributele de a fi comune şi esenţiale pentru una sau mai multe categorii de probleme. În cercetarea noastră această însuşire s-a manifestat mai ales în cazul rezolvării problemelor formative (aplicate individual). La baza generalizării regulilor şi schemelor de rezolvare s-a aflat, foarte probabil, experienţa anterioară a subiecţilor, inclusiv cunoştinţele dobândite în chiar procesul de rezolvare a situaţiilor – test.
Ceea ce diferenţiază profund grupele de elevi comparate este receptivitatea la ajutor extern. Majoritatea subiecţilor cu aptitudini matematice superior dezvoltate au reuşit să rezolve probele aplicate după faza de ajutor minim, aproximativ o treime – după faza de ajutor mediu şi doar în cazuri excepţionale a fost nevoie de ultima fază, adică de ajutor maxim. Total diferită este situaţia în cazul elevilor cu aptitudini matematice slab dezvoltate. La aceştia curba receptivităţii la ajutor extern se inversează, ia valori minime la începutul etapei şi maxime la sfârşitul acesteia. Faptul că saltul se produce mai repede şi cu relativă uşurinţă la elevii buni faţă de cei slabi la matematică îşi are explicaţia, probabil, în nivelul actual al dezvoltării lor intelectuale şi/sau în specificul „zonei proximei dezvoltări”[18]. Tocmai măsura ajutorului de care are nevoie copilul pentru însuşirea noilor cunoştinţe constituie unul dintre parametrii capacităţii de învăţare şi, deci, a abilităţii intelectuale a cărei componentă este.
Abordând generalizarea ca indicator de bază al analizei şi sintezei (alături de abstractizare, revenibilitate şi contragere) se constată că aceasta este bună şi foarte bună la elevii cu rezultate superioare la matematică şi mult deficitară la ceilalţi[19].
Abilitatea de a generaliza în sfera obiectelor şi relaţiilor matematice se regăseşte şi în modul de rezolvare a probelor normative. Factorul rezultat în urma analizei intreprinse (convenţional denumită G) are o contribuţie de 14,32% la saturarea bateriei de probe utilizate. Cele mai ridicate corelaţii le are acest factor cu probele „Şiruri de numere” şi „Matricile progresive Raven”, adică tocmai cu acele sarcini care solicitau cu precădere capacitatea / priceperea subiecţilor de a desprinde din ansamblul de date prezentate, un anumit principiu de organizare.
Abilitatea de a generaliza este o caracteristică a oricărui om normal, dar manifestarea ei în sfera simbolisticii numerice şi literale, a relaţiilor cantitative şi spaţiale este un privilegiu al matematicienilor[20]. Ca însuşire psihică specifică gândirii matematicianului, generalizarea nu poate fi înţeleasă în afara contextului dat de experienţa anterioară şi a motivaţiei pentru sfera obiectelor şi relaţiilor caracteristice domeniului matematic.
Următoarea particularitate se referă la modul de percepere şi utilizare a conţinuturilor imagistice. Abilitatea de a opera cu substitute ale obiectelor caracterizează gândirea omului în toate manifestările sale, o pondere foarte mare având-o în domeniile de interes ale matematicienilor.
În matricea factorilor oblici calculaţi de noi, abilitatea de a percepe şi opera cu forme, mărimi (întindere, volum, grosime, lungime, lăţime, înălţime), poziţii, ordine, distanţe etc., are o arie relativ largă de manifestare sau, altfel spus, contribuie semnificativ la saturarea majorităţii variabilelor / probelor utilizate. Aşa de exemplu, cu proba „Figuri plane”, r = .679, iar cu „Numărare cuburi”, r = .679.
În cazul probelor formative, aspectele care diferenţiază pregnant grupele contrastante de elevi sunt date de amploarea schemelor de acţiune folosite în rezolvarea probei „Turnul din Hanoi”, sesizarea caracterului multifuncţional al liniilor din proba „Numărare figuri geometrice” şi numărul greşelilor comise.
Abilitatea la care ne referim apare ca esenţială şi necesară în organizarea şi desfăşurarea oricărei forme de activitate. Ca proces, aceasta duce la construirea imaginii obiectului în absenţa sa, la conturarea unui model ideal cu conţinut intuitiv, iar ca însuşire diferenţială a personalităţii, la performanţe inegale în activităţile caracterizate printr-un grad ridicat de intuitivitate. Împreună cu cuvântul, adesea în „simbioză” cu acesta, reprezentările constituie suportul concret – informaţional al cunoaşterii şi comunicării.
În matricea finală, calculată pe baza datelor obţinute ca urmare a aplicării bateriei de probe normative, apare un factor cu o contribuţie ridicată (12,184%) la ansamblul saturaţiilor factoriale. Acesta saturează semnificativ (.742) proba „Numărare figuri geometrice” şi moderat, alte trei probe: „Probleme”, „Numărare cuburi” şi „Matricile progresive Raven”. Având în vedere că toate aceste probe vizează cu precădere priceperea subiectului de a stabili asociaţii logice, inedite între datele problemei, adesea chiar de a le restructura de mai multe ori, apreciem că factorul în discuţie nu poate reprezenta altceva decât flexibilitatea gândirii. Date relevante privitoare la flexibilitatea proceselor cognitive au fost obţinute şi cu ocazia aplicării probelor formative anterior menţionate la eşantioane contrastante de subiecţi, sub aspectul dezvoltării lor intelective[21].
Mai mult, poate, decât în cazul altor discipline şcolare, asimilarea şi utilizarea cunoştinţelor matematice se bazează pe experienţa anterioară a copilului, pe transferul unor priceperi şi scheme de acţiune de care acesta dispune. Cu alte cuvinte, un rol important în învăţarea matematicii şcolare şi, implicit, în dezvoltarea aptitudinilor matematice îl au calităţile mnezice. Ca însuşire diferenţială a persoanei, memoria trebuie abordată cel puţin sub următoarele două aspecte: a) ca orientare mnezică generală a persoanei şi b) ca particularităţi tipologice, manifestate în fazele de percepere, păstrare şi valorificare a informaţiei matematice.
În planul orientării mnezice se constată că elevii cu aptitudini matematice superior dezvoltate se deosebesc de colegii lor mai puţin dotaţi pentru această disciplină prin:
atenţia sporită pe care o acordă aspectelor cantitative şi spaţiale ale realităţii, interesul şi plăcerea faţă de problematic, amploarea şi rapiditatea cu care reţin informaţiile vehiculate prin numere, imagini şi formule, uşurinţa cu care stabilesc relaţii logice între datele unei probleme etc.
Urmărind modul de rezolvare a probelor formative utilizate în cercetarea noastră[22], am constatat că aproape toţi subiecţii cu care am lucrat recurg cu uşurinţă (poate chiar cu prea mare uşurinţă) la experienţa anterioară, mai ales la structuri de cunoştinţe dobândite pe parcursul procesului rezolutiv, fără a sesiza faptul că noua situaţie problematică numai în aparenţă este identică cu cea anterioară. Deosebirile dintre grupele de elevi comparate devin evidente în momentele de impas, atunci când conştientizează că au greşit. Elevii cu aptitudini matematice superior dezvoltate caută şi de cele mai multe ori găsesc soluţia corectă, în timp ce colegii lor mai puţin dotaţi persistă în eroare, repetă aceleaşi greşeli (exemplu la „Turnul din Hanoi”).
Valorificarea experienţei anterioare este puternic marcată de complexitatea sarcinii. În cazul probelor relativ simple, aproape toţi subiecţii trec fără ezitări la acţiune, folosind scheme şi modalităţi de rezolvare rutiniere. Cu totul alta este situaţia în cazul sarcinilor complexe, când elevii cu aptitudini matematice slab dezvoltate nu reuşesc să le rezolve decât cu ajutor mediu sau maxim din partea examinatorului. În schimb, subiecţii cu aptitudini matematice superior dezvoltate învaţă masiv din propriile greşeli şi nu au nevoie decât rareori de ajutor extern.
Analizând tempoul sau ritmul de avansare în procesul de învăţare, am constatat că acesta creşte la ambele categorii de subiecţi, dar în mod inegal. Avantajul este de partea elevilor cu aptitudini matematice superior dezvoltate care obţin un coeficient de progres de două ori mai ridicat, atât în privinţa dimensiunii numărului de greşeli, cât şi a timpului de lucru necesar pentru rezolvare.
În consecinţă, se poate afirma cu suficient temei că anumite calităţi mnezice (rapiditate, volum, structurare logică s.a.) intră ca „elemente” constitutive în formarea şi dezvoltarea aptitudinilor matematice la şcolari.
În strânsă legătură cu memoria este factorul numit de noi experienţă logico-matematică. Acumulată treptat în diverse activităţi anterioare (joc, comunicare, învăţare şcolară şi extraşcolară), acest tip de experienţă joacă un rol important în formularea şi rezolvarea de probleme cu conţinut matematic.
Ideea de mai sus apare în lucrările multor autori. „Aptitudinea matematică – notează Al. Roşca şi B. Zörgö – depinde nu numai de contactul activ cu modelul extern al activităţii matematice, ci şi de anumite condiţii interne. Sunt necesare anumite potenţialităţi active primare formate în experienţa de toate zilele pe baza modelelor genetice, cum ar fi de exemplu anumite procese ale gândirii, ale memoriei, atenţiei etc.”[23]. Cu alte cuvinte, nu activităţile în sine, nu experienţa ca volum de cunoştinţe, priceperi şi deprinderi intră aici pe prim plan. Ceea ce contează este efectul acestora asupra proceselor psihice implicate în activitatea matematică.
Datele obţinute în cercetarea noastră confirmă pe deplin relaţia dintre nivelul dezvoltării aptitudinale şi experienţa logico-matematică. Elevii cu aptitudini matematice dezvoltate prezintă, comparativ cu ceilalţi, o superioritate evidentă nu numai la probele de cunoştinţe matematice, ci şi la cele cu conţinut mixt (matematic şi nematematic). Edificator este şi faptul că în faza rezolvărilor independente a probelor formative, când cunoştinţele specifice erau încă minime, rezultatele obţinute au fost nu numai modeste, dar şi puţin diferenţiatoare. Treptat, din confruntarea cu problema dată rezultă un anumit câştig pentru toţi elevii, dar acesta pare a fi mai substanţial în cazul primei categorii de mai sus. Diferenţele între grupele comparate se amplifică după fiecare fază de ajutor extern, ceea ce semnifică existenţa unor raporturi de susţinere între aptitudinea matematică şi experienţa logico-matematică a subiecţilor noştri.
Implicarea experienţei anterioare în rezolvarea sarcinilor cu conţinut matematic este demonstrată şi de valoarea coeficienţilor de corelaţie dintre factorul E şi unele probe utilizate în cercetare[24].
În concluzie, experienţa logico-matematică îşi face simţită prezenţa în formarea şi manifestarea aptitudinilor matematice la şcolari, este un puternic stimulent pentru dezvoltarea componentelor: orientarea adecvată în sarcină, flexibilitatea proceselor cognitive şi capacitatea de a generaliza.
În cercetarea proprie am agreat ideea că aptitudinile omului, fie ele generale sau speciale, nu pot fi limitate la structuri psihice cognitive. Ca atare, am emis ipoteza că la formarea şi manifestarea aptitudinilor matematice vor fi implicate şi componente afective, motivaţionale, volitive şi chiar temperamentale. Pentru a desemna aceste din urmă componente am recurs la expresia atracţie pentru problematic. Motivele unei asemenea alegeri sunt: a) în sfera noţiunii de atracţie intră, în mai mare măsură decât în cazul celor de preferinţă, interes, tendinţă sau chiar pasiune, acele „elemente” care joacă cu adevărat rolul de mobiluri interne ale conduitei; b) nu se includ aici motivele conjuncturale ale învăţării matematici (de exemplu, lauda, recompensa, personalitatea educatorului etc.); c) expresia îmbină în sine atât valenţe motivaţionale, cât şi afective şi, în fine d) expresia a fost folosit şi de alţi autori, care consideră atracţia pentru problematic drept calitate evidentă, îndeosebi în rezolvarea problemelor cu multe şi interesante implicaţii ascunse[25].
În cercetarea proprie, atracţia pentru problematic a fost investigată prin: a) analiza modului de angajare a subiecţilor în rezolvarea probelor formative aplicate şi b) evidenţierea preferinţelor elevilor pentru diferite obiecte de studiu.
Prin natura lor şi modul de aplicare, toate probele formative au stârnit curiozitatea şi interesul participanţilor, le-au indus acestora încrederea în forţele proprii şi chiar dorinţa de a se afirma într-o competiţie oarecum diferită de ceea ce le oferă şcoala prin programele sale instructive. În această privinţa diferenţele dintre subiecţi au fost nesemnificative.
Imaginea se schimbă îndată ce subiecţii ajung în situaţii de impas şi mai ales de eşec repetat. Elevii cu aptitudini matematice slab dezvoltate încep să manifeste nesiguranţă, apatie, nemulţumire şi chiar abandon, în timp ce colegii lor cu aptitudini matematice superior dezvoltate nu par a se descuraja, devin mai hotărâţi, dornici de a se confrunta cu necunoscutul, cu problematicul. Niciunul dintre aceştia din urmă nu se declară dezamăgit sau „învins”, nu devine sceptic în privinţa posibilităţilor sale de a găsi soluţia corectă.
Diferenţele dintre grupele comparate în privinţa atracţiei pentru problematic se adâncesc după etapa acordării de ajutor extern. Urmărind efectele acestui element nou asupra stării psihice a subiecţilor am constatat că toţi elevii cu aptitudini matematice slab dezvoltate au manifestat o vădită satisfacţie pentru sprijinul acordat, în timp ce majoritatea elevilor cu aptitudini matematice superior dezvoltate au preferat să lucreze în continuare fără indicaţii din partea examinatorului. Mai mult chiar, aceştia si-au exprimat dorinţa de a rezolva şi alte probe asemănătoare sau chiar mai dificile.
La solicitarea de a indica 2-3 obiecte de studiu preferate, majoritatea subiecţilor cu aptitudini matematice superior dezvoltate notează „matematica”, „matematica şi fizica” sau „matematica şi chimia” şi doar doi menţionează alte discipline. În cazul elevilor cu aptitudini matematice slab dezvoltate, situaţia apare ca fiind mult mai diversificată. Dintre aceştia din urmă, unul singur menţionează matematica şi doi – fizica.
În concluzie, atracţia pentru problematic poate fi considerată ca o particularitate a elevilor cu aptitudini matematice clar conturate. Între cele două dimensiuni ale personalităţii există strânse raporturi de interdependenţă: aptitudinea matematică facilitează achiziţia de cunoştinţe în domeniu, determină o anumită stare de siguranţă şi satisfacţie, iar acestea, la rândul lor, susţin interesul pentru problematic.
Un anumit rol în structura aptitudinilor matematice la şcolari îl au şi alte componente psihice cum sunt: capacitatea de a memora şi opera cu simboluri; mecanismele de autocontrol şi autoreglare; concentrarea atenţiei; fluiditatea verbală ş.a. Fără a avea valori şi ponderi la fel de ridicate ca primele prezentate (orientarea în problemă, generalizarea, flexibilitate, reprezentarea spaţială şi atracţia pentru problematic), acestea din urmă conferă, totuşi, structurii psihice de care ne ocupăm un plus de originalitate şi eficienţa.
Aptitudinile matematice, asemenea altor însuşiri diferenţiale ale persoanei, nu pot fi cu adevărat cunoscute şi eficient valorificate fără a reliefa caracteristicile pe care acestea le prezintă în evoluţia lor la copil. „Sarcina psihologiei nu constă în a descoperi eternul infantil, ci istoricul infantil sau, folosind expresia poetică a lui Goethe, am putea spune efemerul infantil[26].
A pune în evidenţă formele succesive sub care se manifestă aptitudinea matematică la şcolari este o operaţie extrem de dificilă. Există mai multe cauze care generează o astfel de dificultate: diversitatea de opinii cu privire la caracteristicile aptitudinale ale elevilor, în general; dezvoltarea componentelor aptitudinale în funcţie de metodele şi strategiile utilizate în procesul de învăţare a matematicii; proprietatea ca atare a aptitudinii de a evolua în timp nu după o traiectorie prestabilită, ci după un model cibernetic complex şi greu de descifrat; eterogenitatea metodelor şi instrumentelor de lucru utilizate în cercetare s.a.
la elevii de vârstă şcolară mică (7-11 ani)
Este cunoscut faptul că învăţătoarele sunt adesea frapate de uşurinţa şi rapiditatea cu care unii dintre elevii lor înţeleg, reţin şi operează cu numere şi relaţii cantitative, de rigurozitatea logică a gândirii lor. Mai în glumă, mai în serios aceştia sunt etichetaţi drept „matematicienii” clasei. Din cazuistica proprie menţionez două astfel de cazuri. Elevul D.M., la vârsta de 10 ani, reuşeşte să rezolve corect şi cu destulă rapiditate următoarea problemă: „Câţi pomi şi câte vrăbii există într-o grădină, cunoscând că dacă se aşează câte două vrăbii pe un pom, rămâne un pom liber (neocupat), iar dacă se aşează câte o vrabie pe un pom, rămâne una fără pom?” Problema este una dificilă chiar şi pentru persoanele adulte care nu stăpânesc metoda rezolvării cu ajutorul ecuaţiilor.
V.A. Kruteţkii prezintă mai multe cazuri de copii superior dotaţi în domeniul matematicii. Aşa de exemplu, Sonia L. la vârsta de 3 ani ştia să numere până la 100, la 4 ani explica fratelui său mai mare cum se scade 14 din 27 (la început se scade 10, se obţine 17 şi apoi 4 şi se obţine 13), la 5 ani ajunge la noţiunea de fracţie, iar la 5-6 ani avea o anumită intuiţie a numerelor negative. La 8 ani avea nivelul unui elev de clasa a VI-a, reuşea să rezolve probleme de tipul: Care este lungimea şi viteza trenului, dacă el trece pe lângă un stâlp în 1/4 minute, iar un tren lung de 540 metri îl străbate în 45 secunde?”[27]
Datele cele mai convingătoare sunt, fără îndoială, cele rezultate din cercetări experimentale. Utilizând metoda analizei procesului de rezolvare a unor probe matematice experimentale, I.V. Dubrovina găseşte că superioritatea elevilor cu aptitudini reale pentru matematică comparativ cu colegii lor mai puţin dotaţi constă în:
· Perceperea imediată a datelor şi relaţiilor dintre acestea, formularea corectă a întrebării.
· Rezolvarea problemelor în formă generalizată, ca tipologie şi nu doar ca un caz concret.
· Găsirea imediată a principiului (-iile) de organizare a unor serii de numere.
· Manifestarea tendinţei de condensare/contragere a raţionamentelor în rezolvarea problemelor de matematică.
· Aflarea mai multor soluţii la o problemă dată; trecerea cu uşurinţă de la un mod de rezolvare la altul (la unul diferit).
· Tendinţa spre simplitate şi economicitate.
· Reţinerea/memorarea cu precădere a principiilor de rezolvare şi mai puţin a datelor concrete[28].
Datele obţinute în cadrul unor cercetări proprii, având ca scop problema cunoaşterii şi dezvoltării abilităţii de simbolizare, respectiv de percepere şi reprezentare spaţială, indică acelaşi fenomen: conturarea / „schiţarea” la elevi încă din primii ani ai contactului sistematic cu matematica, a unor însuşiri psihice specifice, asemănătoare ca funcţionalitate cu viitoarele componente structurale ale aptitudinilor matematice.
Am constatat, astfel, că mai mult de jumătate din elevii claselor mici (7-11 ani), deşi nu utilizase mai înainte alte semne decât numerele arabe, reuşesc acum, după 1-2 exerciţii de învăţare, să rezolve destul de repede şi corect probleme în care sarcina era de a stabili relaţii şi de a efectua operaţii aritmetice simple cu date simbolice de tipul: numere grupate (de fapt, puncte în număr de 3, marcate pe un suport material), desene cu obiecte şi fiinţe, având caracteristici cantitative şi spaţiale diferite şi, în fine, semne algebrice (litere), reprezentând unul sau mai multe numere.
A doua constatare se referă la progresul înregistrat de subiecţii cuprinşi în cercetare. În momentul de plecare (clasa a II-a), diferenţele dintre punctajele / cotele realizate de elevi la probele de simbolizare au fost nesemnificative. După 2 ani (la nivelul clasei a IV) acestea nu numai că se adâncesc, dar se observă chiar şi o grupare a elevilor: unii care obţin rezultate foarte bune (aproximativ 20% din efectivul total) şi alţii – cu rezultate nesatisfăcătoare (aproximativ 15% din total). Ţinând seama de faptul că în învăţarea matematicii fiecare nouă etapă începe, de regulă, cu rezultatele etapei anterioare şi se termină cu elaborarea unor modele noi de acţiune, avem toate motivele să presupunem că ascendenţa dobândită la un moment dat va deveni suport pentru dezvoltarea unor componente aptitudinale specifice.
Interesantă este şi evoluţia capacităţii de percepere şi reprezentare spaţială la şcolarii mici. Aceasta apare ca fiind relativ bine dezvoltată în cazul sarcinilor simple (de exemplu, perceperea figurilor plane, bidimensionale) şi slab dezvoltată, în sarcinile complexe (perceperea figuri tridimensionale). Cele două aspecte ale capacităţii de percepere şi reprezentare urmează în evoluţia lor traiectorii relativ distincte: diferenţa dintre cotele obţinute la probele „figuri plane” şi respectiv „figuri în spaţiu” este maximă la nivelul clasei a II-a (8 ani), devine moderată / medie la nivelul clasei a V-a (12 ani) şi minimă la vârsta adolescenţei.
În concluzie, se poate afirma că la şcolarii mici (8-11/12 ani), deşi nu apare o structură aptitudinală propriu-zisă, anumite manifestări specifice nu pot fi ignorate. Avem în vedere în acest sens diferenţele observate în procesul de percepere şi generalizare a informaţiei matematice, capacitatea de înţelegere şi rezolvare a problemelor neuzuale şi cotele de progres realizate prin trecerea de la o etapă la alta a învăţării.
B. Manifestarea aptitudinilor matematice
la vârsta şcolară mijlocie (12-16 ani).
Din punct de vedere al dezvoltării intelectuale, vârsta şcolară mijlocie corespunde stadiului operaţiilor formale, când copilul devine capabil de a se desprinde de concret şi de a situa realul într-un ansamblu de transformări posibile[29]. Este perioada când se pun la un nivel superior problemele conştiinţei de sine, când se dezvoltă interesele şi se stabilizează aptitudinile speciale ale omului. Cercetări ample asupra aptitudinilor matematice la preadolescenţi au efectuat autori ca: V.A. Kruteţkii, R. Gullasch, M. Bejat şi A. Perju ş.a.
Un prim factor considerat de V.A. Kruteţkii ca având un rol esenţial în structura aptitudinilor matematice la şcolari este capacitatea de percepere formalizată („formalizovannoe vopriiatie”) a materialului matematic, însuşire care se manifestă în procesul perceperii datelor şi condiţiilor problemei şi constă în înţelegerea relativ rapidă şi corectă a structurii sale formale. Urmează o serie de factori sau componente care îşi relevă prezenţa în procesul de prelucrare primară şi secundară a informaţiilor disponibile: generalizarea (imediată, directă, fără comparaţii, adesea pe baza unui singur caz); contragerea raţionamentelor matematice şi a sistemelor de acţiune corespunzătoare; flexibilitatea proceselor cognitive (exprimată în lipsa inerţiei, găsirea de soluţii alternative, absenţa interferenţelor); străduinţa spre claritate, simplitate şi economicitate şi reversibilitatea proceselor gândirii (trecerea la rezolvări inverse, fără efort vizibil şi fără o învăţare prealabilă). Ultimul factor important se relevă în procesul de păstrare / conservare a informaţiei matematice şi constă în: reţinerea structurilor de bază, a principiilor şi schemelor generale de rezolvare şi „uitarea” datelor concrete, a informaţiei de prisos[30].
Un alt autor care a efectuat cercetări asupra gândirii matematice la elevii de vârstă şcolară mijlocie este R. Gullash. Plecând de la ideea că la baza oricărui proces de gândire stau operaţiile de analiză şi sinteză, acesta îşi asumă sarcina de a investiga diferenţele individuale (cognitive) care apar în procesul de rezolvare a problemelor matematice. Sarcinile experimentale au fost astfel alese încât să poată fi puse în evidenţă nivelurile la care se desfăşoară operaţiile de abstractizare, generalizare, reversibilitate şi contragere în procesul de analiză şi sinteză a datelor prezentate. Rezultatele obţinute sunt redate sub forma unei scheme cu şase niveluri, fiecare reprezentând un anumit grad de dezvoltare a indicatorului (funcţiei) urmărit. Subiecţii cu aptitudini matematice superior dezvoltate realizează operaţiile mai sus menţionate la nivelurile unu şi doi, adică cele mai înalte, în timp ce elevii cu aptitudini matematice slab dezvoltate nu depăşesc nivelurile medii (3 şi 4). Concluzia: diferenţele dintre grupele de subiecţi comparate sunt date de nivelul la care se desfăşoară operaţiile de abstractizare, generalizare, reversibilitate şi reducţie / condensare, atât în cazul sarcinilor cu conţinut aritmetic sau algebric, cât şi a celor de geometrie[31].
Coroborând datele de mai sus cu cele rezultate din cercetarea proprie[32], putem afirma că vârsta şcolară medie (13-16 ani), este – din perspectiva problemei analizate – perioada în care diferitele componente aptitudinale ating niveluri relativ înalte, când acestea se îmbină şi interacţionează, formând o structură psihică specifică şi armonios dezvoltată.
C. Structura aptitudinilor matematice
la elevii de vârstă şcolară mare (16-20 ani)
Perioada pubertăţii fiind încheiată, copilul intră într-o fază evolutivă în care dominante sunt tendinţele de echilibrare, de clarificare a idealurilor şi opţiunilor, de dezvoltare armonioasă a întregii personalităţi[33]. Se înregistrează acum fenomene legate de diversificarea domeniilor de manifestare a aptitudinilor, inclusiv a celor matematice. Diferitele componente aptitudinale devin mai suple, mai profunde şi mai eficiente.
Analizând particularităţile aptitudinilor matematice la vârsta adolescenţei, S.I. Şapiro[34] găseşte câteva aspecte demne de remarcat.
Astfel, în cazul componentei capacitate de generalizare autorul stabileşte existenţa a trei niveluri de manifestare: a) inferior, când generalizarea se produce ca urmare a solicitării venite din partea profesorului; b) mediu, când elevul generalizează ca urmare a unei necesităţi interne de rezolvare a problemei şi c) superior, când elevul generalizează fără ca rezolvarea problemei să impună o asemenea necesitate. Tocmai acest din urmă nivel, oglindit în tendinţa de a rezolva fiecare problemă dată în formă generală, caracterizează gândirea matematică superioară.
Componenta denumită capacitate de contragere (de condensare, reducere) ia acum forme specifice de genul: a) rezolvarea contrasă nu numai a problemelor cunoscute ci şi a celor de tip nou; b) absenţa conştientizării verigilor omise şi c) „dificultăţi” în rezolvarea desfăşurată (pas cu pas) a problemelor.
Asociaţiile inverse (sau trecerea de la o cale directă la una inversă de rezolvare a problemelor) sunt, de asemenea, caracteristici ale gândirii elevilor cu aptitudini matematice. La aceştia, asociaţiile inverse apar, se păstrează şi se actualizează în strânsă legătură cu cele directe. La elevii slabi, dimpotrivă, asociaţiile directe şi indirecte par a fi independente una de alta.
Analizând modul în care se îmbină componenta geometrică cu cea analitică în gândirea elevilor, S.I. Şapiro ajunge la concluzia că în cazul celor cu aptitudini ridicate pentru matematică, acesta poate fi definit ca armonios şi adecvat tipului de problemă. Elevii „matematicieni” manifestă o vădită tendinţă de utilizare a modelelor generale, abstract-simbolice sau trigonometrice. Dimpotrivă, la elevii cu aptitudini reduse pentru matematică se produce o ruptură între componenta geometrică şi cea analitică. Ei recurg cu plăcere la modele geometrice concrete, gândirea lor apare ca fiind de un tip primitiv, intuitiv-concret.
Datele preliminare obţinute în cadrul unei cercetări recente proprii demonstrează că la vârsta adolescenţei posibilităţile de percepere şi reprezentare spaţială continuă să se dezvolte la toate categoriile de elevi. Se amplifică mai ales funcţiile implicate în reprezentarea figurilor tridimensionale. La acest indicator coeficientul de realizare cunoaşte o creştere de 33% pe intervalul de vârstă 15-19 ani.
Se poate, prin urmare, concluziona că diferitele componente care structurează aptitudinile matematice continuă să se dezvolte la vârsta şcolară mare, devenind mai profunde, mai suple şi mai eficiente. Astfel, generalizarea materialului matematic se produce imediat şi pe planuri multiple, reversibilitatea se manifestă cu egală uşurinţă atât în operaţiile directe, cât şi în cele inverse, contragerea raţionamentelor devine tot mai puţin controlată conştient, reprezentarea spaţială se adânceşte, reuşind să reţină un volum sporit de relaţii ascunse vederii, iar memoria păstrează cu prioritate schemele generale de acţiune, rezolvările tipice şi datele esenţiale.
Încheiem seria de date şi idei referitoare la caracteristicile aptitudinilor matematice cu următoarele concluzii:
a) Ca structură / complex de însuşiri relativ stabile şi totodată dinamice, aptitudinea matematică se bazează pe toate procesele şi calităţile psihice solicitate de activitatea matematică. În construirea şi manifestarea sa intră nu numai componente cognitive, ci şi afective, motivaţionale şi atitudinale. Specificul structurii depinde atât de calităţile fiecărei componente, cât şi de tipul interacţiunilor dintre acestea, interacţiuni care se produc după „formule” mai mult sau mai puţin strict personalizate.
b) La elevii „matematicieni” aptitudinea matematică: are o pondere însemnată în structura de ansamblu a personalităţii; îndeplineşte roluri centrale şi coordonatoare în procesul de receptare, stocare şi utilizare a informaţiei; imprimă o notă specifică modului de funcţionare a celorlalte substructuri ale personalitătii şi, în fine, imprimă întregii personalităţi un profil predominant matematic.
c) Aptitudinile matematice sunt rezultate ale dezvoltării, ale interacţiunii dintre premisele ereditare şi condiţiile de mediu socio-cultural. Caracterul lor, mai mult sau mai puţin eficient, depinde de modul în care se realizează modelarea potenţialităţilor ereditare (inclusiv cele prenatale) de către factorii ambientali şi, mai ales, de măsura în care subiectul se implică în propria sa devenire.
d) Între conţinutul învăţării şi abilităţile intelective ale copilului există strânse raporturi de condiţionare reciprocă. Acumularea de cunoştinţe, priceperi şi deprinderi duce la dezvoltarea şi transformarea calitativă a schemelor de cunoaştere şi acţiune matematică, iar acestea, la rândul lor, reglează cantitatea şi calitatea achiziţiilor şcolare.
e) O preocupare de larg interes, atât pentru profesori, cât şi pentru elevi, o constituie problema cunoaşterii şi dezvoltării aptitudinilor matematice în activitatea de învăţare şcolară. Metodele mai frecvent folosite în acest scop sunt: evaluările curente (finalizate cu note şcolare), testările periodice efectuate cu probe standardizate (de aptitudini şi cunoştinţe), observaţiile sistematice efectuate de profesorii de specialitate, încurajarea şi stimularea elevilor pentru a participa la diverse cercuri ştiinţifice, concursuri şcolare şi olimpiade, recurgerea la metode şi procedee de lucru inedite, interesante, stimulative pentru dezvoltarea curiozităţii epistemice a elevilor, pentru formarea unor veritabile interese sau chiar pasiuni pentru domeniile matematicii.
[1] S.L. Rubinstein, Problemî obşcei psihologhii, Izd-vo Pedagoghika, Moskva, 1973.
[2] Teorie iniţiată de P. Janet, continuată de J. Piaget şi dezvoltată de P.I. Galperin în: Psihologhiia mâşleniia i ucenie o poetapnom formirovanii umstvennâh deistvii, în vol. „Issledovaniia mâşleniia v sovetskoi psihologhii”, Izd-vo Nauka, Moskva, 1966.
[3] I. Berar, Aptitudinea matematică la şcolari, Edit. Academiei Române, Bucureşti, 1991, p. 16‑20.
[4] V.A. Kruteţkii, Psihologhiia matematiceskih sposobnostei şkolnikov, Izd-vo Prosveşcenie, Moskva, 1968, p. 385.
[5] R. Gullasch, Denkpsychologische Analysen mathematischer Fähigkeiten, Volk und Wiessen Volkseigener Verlag, Berlin, 1971.
[6] V.A. Kruteţkii, op. cit.
[7] Al. Roşca, B. Zörgö, Aptitudinile, Edit. Ştiinţifică, Bucureşti, 1972.
[8] I. Berar, Cunoaşterea şi cultivarea aptitudinilor matematice la elevii de vârstă şcolară mică şi mijlocie, în Zörgö şi I. Radu (coord.), Studii de psihologie şcolară, Edit. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.
[9] Probele sunt prezentate în I. Berar, Aptitudinea matematică la şcolari, Edit. Academiei Române, 1991, Bucureşti, p. 162-182.
[10] A. Băban, Metodologia cercetării calitative, Edit. Presa Universitară Clujeană, 2002, Cluj-Napoca, p. 167-173.
[11] I. Berar, Diagnosticul formativ, în „Anale”, Seria psihologie, Timişoara, 1996, p. 22-31.
[12] I. Berar, Aptitudinea matematică la şcolari, Edit. Academiei Române, Bucureşti, 1991.
[13] L.L. Thurstone, Primary Mental Abilities, The University of Chicago Press, Illinois, Chicago, 1938.
[14] T.I. Horrocks, Schoonover, Measurement for Teachers, Columbus, Ohio, 1968.
[15] I. Berar, Aptitudinea matematică la şcolari, Edit. Academiei Române, Bucureşti, 1991, p. 58‑59.
[16] V.A. Kruteţki, op. cit., p. 386.
[17] B. Zörgö, Formularea generalizată a acţiunii în rezolvarea problemelor de aritmetică la şcolarul mic, în „Studia Universitatis Babeş-Bolyai”, Series psychologia-paedagogia, Cluj-Napoca, 1962.
[18] L.S. Vâgotski, Opere psihologice alese, vol.I-II, Edit. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971.
[19] R. Gullasch, op. cit., p. 78-80.
[20] V.A. Kruteţkii, op. cit., p. 289.
[21] I. Berar, Flexibilitatea proceselor cognitive ca indicator al supradotării, în V.G. Todea (coord.) „Conferinţa internaţională de psihologie (3, 2001, Sinaia)”, Edit. Augusta, Timişoara, 2002, p. 191-196.
[22] Probe având caracterul de probleme bine definite. A se vedea şi lucrarea M. Miclea, P. Curşeu, Modele neurocognitive, Edit. A.S.C.R., Cluj-Napoca, 2003, p. 71-72.
[23] Al. Roşca, B. Zörgö, op. cit., p. 25.
[24] Factorul E prezintă corelaţii ridicate cu probele „Nota la matematică” (r = .904) şi „Nota la fizică” (r = .872), în timp ce cu probele neuzuale „Figuri plane” şi „Serii de numere” r = .194 şi, respectiv, p. 182.
[25] E. Rusu, Psihologia activităţii matematice, Edit. Ştiinţifică, Bucureşti, 1969, p. 17-26.
[26] L.S. Vâgotski, op. cit., p. 62.
[27] V.A. Kruteţkii, op. cit., p. 212-214.
[28] I.V. Dubrovina, Individualnâie razliciia v sposobnosti k obobşceniiu matematiceskogo i nematematiceskogo materiala v mladşem şkolnom vozraste, în V.A. Kruteţkii (red), Voprosî psihologhii sposobnostei, Izd-vo Pedagoghika, Moskva, 1966, p. 39-40 şi 88-89.
[29] J. Piaget, Psihologia inteligenţei, Edit. Ştiinţifică, Bucureşti, 1965.
[30] V.A. Kruteţkii, op. cit., p. 246-331.
[31] R. Gullasch, op. cit.
[32] I. Berar, Aptitudinea matematică la şcolari, Edit. Academiei Române, 1991, Bucureşti, p. 153-158.
[33] E. Verza, Psihologia vârstelor, Edit. Hyperion, 1993, Bucureşti, p. 105-120.
[34] S.I. Şapiro, Psihologhiceskii analiz strukturî matematiceskih sposobnostei v starşem şkolnom vozraste, în V.A. Kruteţkii (red.), op. cit., p. 90-129.